对数正态分布（对数正态分布标准化）

多元分布

在金融中，我们经常用对数正态分布来描述价格P。

continuous distribution

学生t分布

三种连续分布

对数正态分布

当t分布的自由度上升的时候，概率密度函数尾部会变薄，更加接近于正态分布。

multivariate distribution

如果我们现在有一个随机变量X，它的对数ln(X)~N(μ，σ2),那么随机变量X服从对数正态分布。

student’s t-distribution

自由度等于样本数据个数减去1：

前面我们了解了连续均匀分布，正态分布，现在我们来了解一下另外的三种连续分布：

lognormal distribution

那这个分布为什么叫学生t分布呢？这是因为哥赛特是用student的笔名发表的这一研究结果。t分布开启了小样本统计推断的时代。

t分布的概率密度函数可以完全由一个参数——自由度来描述。自由度——degrees of freedom，可以简写为df。

df=n-1

这似乎与我们前面讲峰度时说的尖峰肥尾相违背，但尖峰肥尾是在建立在方差相同的前提下的，而t分布与正态分布的方差是不同的。

与正态分布类似的，t分布也是左右对称的，所以它的偏度skewness=0

学生t分布

多元分布

学生t分布是由英国统计学家哥赛特发现的。他当时在一家酿酒厂工作，在对酿酒数据进行分析时，哥赛特发现当样本容量比较少的时候，实验数据并不服从正态分布，它的概率分布形状和正态分布类似，但是尾部比正态分布更厚。

如果X~N(μ，σ2)，就相当于lne^x服从正态分布，那么e^x服从对数正态分布。

多元分布衡量一组随机变量的概率分布。

多元分布的概率密度函数需要考虑到随机变量间的相关性，所以描述多元分布的概率密度函数需要知道每一个变量的均值、方差以及他们之间的相关系数。

对数正态分布

t分布的离散程度大于正态分布，所以t分布的方差是大于正态分布的方差的。

这是因为价格都是正数，对数正态分布的x的取值也都是正的，相吻合。

t分布是低峰肥尾的，其峰度k<3。